miércoles, enero 30, 2008
La paradoja de los dos sobres
Los que me conocen saben que me gustan bastante los problemas lógicos o matemáticos. Es una forma excelente de aparentar que eres más listo de lo que en realidad eres, además de dar para buenos temas de conversación.
Anoche conocí la "Paradoja de los dos sobres", o el problema del intercambio. Se trata de lo siguiente: Supongamos que nos ofrecen un sobre cerrado. Lo abrimos y aparecen 10000 euros. Venciendo el impulso natural de optar por la estrategia de las 3 Ps (que no es un sofisticado algoritmo matemático sino un artificio que me he inventado para captar su atención), léase Poner Pies en Polvorosa, escuchamos lo que nuestro filántropico benefactor tiene que decir: "Le ofrezco cambiar su elección, por este otro sobre que tengo aquí, sabiendo que uno de los dos sobres contiene el doble que el otro". ¿Cuál sería la decisión inteligente?
La sabiduría popular basada en la tradición popular, siempre menospreciada y tan efectista en esos pavoneos dialécticos de los que les hablaba en el primer párrafo, dice que "Más vale pájaro en mano que bandada comiendo en las contaminadas aguas de cualquier acuífero protegido, pero que si pasa algo hacemos la vista gorda". Un snob intelectual de tres al cuarto como el que suscribe no dudaría en calcular que la esperanza del intercambio es 20000*0.5 + 5000*0.5 = 12500. Parece claro que siempre nos interesa cambiar, haya la cantidad que haya ¿no? Mmmm. Entonces cogeríamos directamente el sobre que no queríamos coger en un principio. Pero el mismo razonamiento se aplica ahí por lo que volveríamos a cambiar entrando así en un sistema oscilante en el que si fuéramos filósofos como Dios manda acabaríamos quedando atrapados y falleciendo por inanición. ATENCION SPOILER a partir de aquí propongo una solución, el que quiera pensar que pare en este punto o se rinda a la frustración tras quedar iluminado por mi sabiduría. Uno que es un zampabollos, antes de buscar las soluciones habidas y por haber en ese crisol de razas y manantial inagotable de sabiduría llamado Internet, razona que una cosa es la esperanza y otra la probabilidad. El tema de la esperanza siempre va a ser la misma, cojamos el sobre que cojamos, porque la esperanza es la media de lo que sacaríamos. El hecho de conocer de antemano la cantidad antes de decidir si cambiamos o no no afecta al hecho, la media seguirá siendo la misma que antes. La probabilidad de que cojamos el sobre 'bueno' seguirá siendo un 50%, con lo que efectivamente se trata de un problema indecidible, con lo que volvemos al punto de la sabiduría popular, y es que qué pequeño es el mundo, salimos de un bucle para acabar en otro. Fin del SPOILER.
Lo más gracioso es que en la Wikipedia dice que el problema todavía está por resolver, aunque la solución de la que hablan es más o menos similar a la que discurrí anoche yo solito. No les aconsejo que lean esto antes de dormir, como hice yo. Entre la radio que nos deparó un bonito espectáculo con el seleccionador nacional y el periodista Alfonso Azuara gritándose mentiroso y cobarde el uno al otro y este tipo de retos intelectuales en la cabeza, aderezados con la bomba de relojería que es un bebé lactante durmiendo en las inmediaciones, la receta para el insomnio está garantizada.
Para quien quiera explorar más, por supuesto la Wikipedia, con un montón de bibliografía y referencias. Es probable que yo no entienda del todo la explicación matemática, pero ya se mete un poco en temas de la probabilidad de que la muestra (el primer sobre) forme parte de una distribución normal, etcétera que yo creo que se salen un poco de la gracia del juego (no hay nada tan humano como desacreditar a lo desconocido, ¿verdad?)
Anoche conocí la "Paradoja de los dos sobres", o el problema del intercambio. Se trata de lo siguiente: Supongamos que nos ofrecen un sobre cerrado. Lo abrimos y aparecen 10000 euros. Venciendo el impulso natural de optar por la estrategia de las 3 Ps (que no es un sofisticado algoritmo matemático sino un artificio que me he inventado para captar su atención), léase Poner Pies en Polvorosa, escuchamos lo que nuestro filántropico benefactor tiene que decir: "Le ofrezco cambiar su elección, por este otro sobre que tengo aquí, sabiendo que uno de los dos sobres contiene el doble que el otro". ¿Cuál sería la decisión inteligente?
La sabiduría popular basada en la tradición popular, siempre menospreciada y tan efectista en esos pavoneos dialécticos de los que les hablaba en el primer párrafo, dice que "Más vale pájaro en mano que bandada comiendo en las contaminadas aguas de cualquier acuífero protegido, pero que si pasa algo hacemos la vista gorda". Un snob intelectual de tres al cuarto como el que suscribe no dudaría en calcular que la esperanza del intercambio es 20000*0.5 + 5000*0.5 = 12500. Parece claro que siempre nos interesa cambiar, haya la cantidad que haya ¿no? Mmmm. Entonces cogeríamos directamente el sobre que no queríamos coger en un principio. Pero el mismo razonamiento se aplica ahí por lo que volveríamos a cambiar entrando así en un sistema oscilante en el que si fuéramos filósofos como Dios manda acabaríamos quedando atrapados y falleciendo por inanición. ATENCION SPOILER a partir de aquí propongo una solución, el que quiera pensar que pare en este punto o se rinda a la frustración tras quedar iluminado por mi sabiduría. Uno que es un zampabollos, antes de buscar las soluciones habidas y por haber en ese crisol de razas y manantial inagotable de sabiduría llamado Internet, razona que una cosa es la esperanza y otra la probabilidad. El tema de la esperanza siempre va a ser la misma, cojamos el sobre que cojamos, porque la esperanza es la media de lo que sacaríamos. El hecho de conocer de antemano la cantidad antes de decidir si cambiamos o no no afecta al hecho, la media seguirá siendo la misma que antes. La probabilidad de que cojamos el sobre 'bueno' seguirá siendo un 50%, con lo que efectivamente se trata de un problema indecidible, con lo que volvemos al punto de la sabiduría popular, y es que qué pequeño es el mundo, salimos de un bucle para acabar en otro. Fin del SPOILER.
Lo más gracioso es que en la Wikipedia dice que el problema todavía está por resolver, aunque la solución de la que hablan es más o menos similar a la que discurrí anoche yo solito. No les aconsejo que lean esto antes de dormir, como hice yo. Entre la radio que nos deparó un bonito espectáculo con el seleccionador nacional y el periodista Alfonso Azuara gritándose mentiroso y cobarde el uno al otro y este tipo de retos intelectuales en la cabeza, aderezados con la bomba de relojería que es un bebé lactante durmiendo en las inmediaciones, la receta para el insomnio está garantizada.
Para quien quiera explorar más, por supuesto la Wikipedia, con un montón de bibliografía y referencias. Es probable que yo no entienda del todo la explicación matemática, pero ya se mete un poco en temas de la probabilidad de que la muestra (el primer sobre) forme parte de una distribución normal, etcétera que yo creo que se salen un poco de la gracia del juego (no hay nada tan humano como desacreditar a lo desconocido, ¿verdad?)
# publicado por Art @ 09:14 
Comentarios:
<< P´a;agina principal
Me quedaría con el primer sobre y me olvidaría de la otra opción. Aunque me plantearía el por qué me habían ofrecido tal cosa (jajaja).
Saludos.
Saludos.
Doña Mary, su comportamiento coincide con el de la mayoría de la gente. Aunque le congratule esta confirmación de su humanidad, tenga cuidado con sus inversiones financieras, ya que esta pauta es la menos indicada. Básicamente varios estudios demostraron que tendemos a limitar las ganancias y dejar correr las pérdidas (esperando que se conviertan en ganancias). Este comportamiento natural es el causante de la mayoría de las pérdidas de los inversores particulares en los mercados financieros.
Respecto al por qué del ofrecimiento, piense que es totalmente impersonal, se lo ofrecen a cualquiera en aras de la paradoja. No se pavonee tanto.
Respecto al por qué del ofrecimiento, piense que es totalmente impersonal, se lo ofrecen a cualquiera en aras de la paradoja. No se pavonee tanto.
Bonito problema. Vamos a ver si le doy otro enfoque. Todo viene de que la esperanza matemática nos dice que debemos cambiar ad infinitum, porque es más probable que ganemos más. Y aquí empieza la falacia. Me ha dado que pensar que estemos hablando de tres cantidades (5000,10000 y 20000) cuando solo hay dos sobres y solo tenemos dos opciones.... hmmmm . Aparte de eso, como ponen en wikipedia, si planteamos el problema como sigue:
dos sobres con A y 2A. Hagamos lo que hagamos, ganamos A o perdemos A, con el 50% de probabilidades. Cosa que nos decía nuestro sentido común. Entonces, ¿qué pasa con la esperanza matemática? Un pequeño error: Nosotros estamos planteando realmente otro problema: tres sobres, con 5000,10000 y 20000 , cogemos uno, y sale 10000, ¿nos interesa cambiar? en este caso sí, porque, efectivamente, la esperanza nos da una probabilidad mayor de ganar con el cambio. Este es un problema de 3 elementos equiprobables, en los que se puede aplicar la esperanza matemática. Pero, ¿es este el problema del principio? NO. EL problema original son dos conjuntos , 5000-10000 y 10000-20000, que tienen igual probabilidad de ser el que se nos presenta, pero NO LO SABEMOS. Estamos igualando un conjunto de 3 elemnentos con 2 conjuntos de 2 elementos con un elemento común. En este último caso no tiene sentido aplicar la esperanza matemática, puesto que esta siempre se aplica a un conjunto con unos valores conocidos. El conjunto al que nos enfrentamos no lo sabemos, es uno de dos , de forma equiprobable. Entonces, el verdadero problema es : Si saco 10.000, ¿qué conjunto de dos sobres tengo delante? 5000-10000 o 10000-2000. En el primer caso me interesaría quedarme como estoy, y en el segundo me interesaría cambiar. Como la probabilidad de cada conjunto es la misma, es la misma la probabilidad de ganar con el cambio que de perder.
No sé si me he explicado.
El quid, el verdadero quid , es , como he dicho antes, confundir dos conjuntos de dos elementos con uno en común, con un conjunto de tres elementos. En el primer caso no se puede aplicar la esperanza matemática y en el segundo sí.
¿alguna objeción?.......
Saludos.
dos sobres con A y 2A. Hagamos lo que hagamos, ganamos A o perdemos A, con el 50% de probabilidades. Cosa que nos decía nuestro sentido común. Entonces, ¿qué pasa con la esperanza matemática? Un pequeño error: Nosotros estamos planteando realmente otro problema: tres sobres, con 5000,10000 y 20000 , cogemos uno, y sale 10000, ¿nos interesa cambiar? en este caso sí, porque, efectivamente, la esperanza nos da una probabilidad mayor de ganar con el cambio. Este es un problema de 3 elementos equiprobables, en los que se puede aplicar la esperanza matemática. Pero, ¿es este el problema del principio? NO. EL problema original son dos conjuntos , 5000-10000 y 10000-20000, que tienen igual probabilidad de ser el que se nos presenta, pero NO LO SABEMOS. Estamos igualando un conjunto de 3 elemnentos con 2 conjuntos de 2 elementos con un elemento común. En este último caso no tiene sentido aplicar la esperanza matemática, puesto que esta siempre se aplica a un conjunto con unos valores conocidos. El conjunto al que nos enfrentamos no lo sabemos, es uno de dos , de forma equiprobable. Entonces, el verdadero problema es : Si saco 10.000, ¿qué conjunto de dos sobres tengo delante? 5000-10000 o 10000-2000. En el primer caso me interesaría quedarme como estoy, y en el segundo me interesaría cambiar. Como la probabilidad de cada conjunto es la misma, es la misma la probabilidad de ganar con el cambio que de perder.
No sé si me he explicado.
El quid, el verdadero quid , es , como he dicho antes, confundir dos conjuntos de dos elementos con uno en común, con un conjunto de tres elementos. En el primer caso no se puede aplicar la esperanza matemática y en el segundo sí.
¿alguna objeción?.......
Saludos.
El tema don Jerm yo creo que lo enfoca Vd. de forma un tanto retorcida, debido a sus conocidas veleidades filosóficas. El tema de ver dos mundos alternativos queda muy cuántico y muy progre, pero yo lo veo nada más que como un artificio y además que modifica el problema. En resumidas cuentas que veo mi explicación mucho más clara. No hay contradicción alguna en que la esperanza sea la que es. Pero la falacia real surge al confundir esperanza con probabilidad, simplemente.
Permítame por una vez , Don Art que le responda. Lo de los universos paralelos y cuánticos no sé de donde lo saca. Quizá que usted no ha entendido mi explicación, o que yo no lo he sabido exponer claramente, que será lo más seguro.
La esperanza está claramente mal, porque la paradoja consiste en que dos sucesos contrarios tienen una esperanza positiva. Eso es imposible. Si hay un incendio y la esperanza matemática de sobrevivir es mayor tirándome al suelo, según las estadísticas, es imposible que la esperanza matemática me diga que tengo más posiblidades de sobrevivir si me quedo de pie, con los mismos datos estadísticos.
Aquí no hay ningún universo paralelo. Hay un truco.
El truco se empieza a ver si exponemos el mismo (EXACTAMENTE) problema de la siguiente manera:
Tengo dos sobres: uno contiene A, y el otro 2A. Si elijo A y cambio gano A. Si no cambio dejo de ganar A.
Si elijo primero 2A si me quedo gano A y si cambio dejo de ganar A.
Es exactamente el mismo problema, enfocado de otra forma y en la que se ve que la esperanza matemática es la misma tome el camino que tome. Y no es, en absoluto , una cosa rebuscada. Es simple.
Lo segundo que le digo, lo de los conjuntos, no sé si se acuerda de los Diagramas de Benn, que dábamos en la escuela. Son puntitos rodeados de un círculo, que nos hacían colorear en las intersecciones y todo eso. No hay nada cuántico en eso.
El error viene de confundir:
Conjunto A:
miembros: 5000,10000,20000
Con un 33% de probabilidad cada uno. (De este sale la esperanza errónea)
con la realidad del problema:
conjunto B:
miembros: 5000 , 10000
conjuto C:
miembros: 10000, 20000
Cuando abres el sobre de los 10000, en realidad NO SABES qué conjunto tienes delante , si el B o el C, y lo que haces para calcular la esperanza es hacerlo equivalente al A. Paso erróneo.
Ese es la gracia.
Como realmente no sabes si tienes el conjunto B o el C, solo sabes que ambos son equiprobables, por lo que el cálculo correcto seria:
Si tengo delante el B:
Si cambio, resultado: 5000
si no cambio: 10000
Esperanza: 7500
Si tengo delante el C:
Si cambio: 20000
si no cambio :10000
Esperanza: 15000
En ambos conjuntos la esperanza matemática está centrada, o sea, que da igual cambiar que no. Como lo que está claro es que los dos sobres que tenemos delante, o son el conjunto B o son el C, y en ambos caso la esperanza de esos conjuntos está centrada, o sea que da igual cambiar que no, tanto si los sobres son el conjunto B como si son el C, da igual cambiar que no.
Espero que esté claro ahora. Y créame, sr. Art. no me voy por los cerros de Úbeda. Y eso de que queda progre, bueno, no me lo tomaré como un insulto, pero casi. Juas.
Un saludo.
La esperanza está claramente mal, porque la paradoja consiste en que dos sucesos contrarios tienen una esperanza positiva. Eso es imposible. Si hay un incendio y la esperanza matemática de sobrevivir es mayor tirándome al suelo, según las estadísticas, es imposible que la esperanza matemática me diga que tengo más posiblidades de sobrevivir si me quedo de pie, con los mismos datos estadísticos.
Aquí no hay ningún universo paralelo. Hay un truco.
El truco se empieza a ver si exponemos el mismo (EXACTAMENTE) problema de la siguiente manera:
Tengo dos sobres: uno contiene A, y el otro 2A. Si elijo A y cambio gano A. Si no cambio dejo de ganar A.
Si elijo primero 2A si me quedo gano A y si cambio dejo de ganar A.
Es exactamente el mismo problema, enfocado de otra forma y en la que se ve que la esperanza matemática es la misma tome el camino que tome. Y no es, en absoluto , una cosa rebuscada. Es simple.
Lo segundo que le digo, lo de los conjuntos, no sé si se acuerda de los Diagramas de Benn, que dábamos en la escuela. Son puntitos rodeados de un círculo, que nos hacían colorear en las intersecciones y todo eso. No hay nada cuántico en eso.
El error viene de confundir:
Conjunto A:
miembros: 5000,10000,20000
Con un 33% de probabilidad cada uno. (De este sale la esperanza errónea)
con la realidad del problema:
conjunto B:
miembros: 5000 , 10000
conjuto C:
miembros: 10000, 20000
Cuando abres el sobre de los 10000, en realidad NO SABES qué conjunto tienes delante , si el B o el C, y lo que haces para calcular la esperanza es hacerlo equivalente al A. Paso erróneo.
Ese es la gracia.
Como realmente no sabes si tienes el conjunto B o el C, solo sabes que ambos son equiprobables, por lo que el cálculo correcto seria:
Si tengo delante el B:
Si cambio, resultado: 5000
si no cambio: 10000
Esperanza: 7500
Si tengo delante el C:
Si cambio: 20000
si no cambio :10000
Esperanza: 15000
En ambos conjuntos la esperanza matemática está centrada, o sea, que da igual cambiar que no. Como lo que está claro es que los dos sobres que tenemos delante, o son el conjunto B o son el C, y en ambos caso la esperanza de esos conjuntos está centrada, o sea que da igual cambiar que no, tanto si los sobres son el conjunto B como si son el C, da igual cambiar que no.
Espero que esté claro ahora. Y créame, sr. Art. no me voy por los cerros de Úbeda. Y eso de que queda progre, bueno, no me lo tomaré como un insulto, pero casi. Juas.
Un saludo.
Estimado don Jerm,
Lamento haberle soliviantado de esta forma con mi respuesta a su comentario. No es mi intención provocarle semejante urticaria, pero como se que en el fondo Vd. es amigo de la razón, el aprecio que le profeso no me deja alternativa a intentar darle mi opinión.
Creo que cuando habla Vd. de dos escenarios alternativos puede ser un poco pedante pero no demasiado peregrino llamarles universos. Creo también que si Vd. lee el susodicho artículo de la wikipedia verá que ahí también enarbolan semejante artificio. Quizá esto me hizo ir un poco rápido con la asociación de ideas.
Creo definitivamente que Vd. no comprende el concepto de esperanza matemática, y lo demuestra el ejemplo que pone. La esperanza matemática no es otra cosa que una versión más generalista de la media. Y por muy contradictorios que sean dos hechos si son equiprobables la esperanza matemática siempre será la misma, ya que esta no depende del hecho en sí sino del experimento en cuestión. Es por tanto, una falacia el intentar embarullar al lector hablándole de esperanza cuando no tiene sentido a la hora de justificar la elección inteligente. No obstante la esperanza será la que es.
Los diagramas que recuerdo yo son los de Venn, pero bueno ya sabe que yo soy de la zona catalanoparlante y lo que disfrutan estos individuos creando fonemas y ortografías dicotómicas para confundir a los nacionalistas centrales.
Yo entiendo que su explicación le sirva a Vd. porque de hecho intuyo que viene a decir lo mismo que decía yo, que no hay tal bucle y que el resultado es equiprobable, pero para tal viaje no hacían falta tales alforjas. No quiero decir que la mayoría de nuestros lectores no le entienda a Vd. mejor que a mi, pero en este caso prefiero quedarme con mi sobre y pensar que yo soy más cristalino, o sea.
Y no se moleste por lo de ser progre, que me refería a progresista que aún con ideas más tradicionales hay gente que puede ser también muy progresista. Es la falacia de las etiquetas.
Saludos.
Lamento haberle soliviantado de esta forma con mi respuesta a su comentario. No es mi intención provocarle semejante urticaria, pero como se que en el fondo Vd. es amigo de la razón, el aprecio que le profeso no me deja alternativa a intentar darle mi opinión.
Creo que cuando habla Vd. de dos escenarios alternativos puede ser un poco pedante pero no demasiado peregrino llamarles universos. Creo también que si Vd. lee el susodicho artículo de la wikipedia verá que ahí también enarbolan semejante artificio. Quizá esto me hizo ir un poco rápido con la asociación de ideas.
Creo definitivamente que Vd. no comprende el concepto de esperanza matemática, y lo demuestra el ejemplo que pone. La esperanza matemática no es otra cosa que una versión más generalista de la media. Y por muy contradictorios que sean dos hechos si son equiprobables la esperanza matemática siempre será la misma, ya que esta no depende del hecho en sí sino del experimento en cuestión. Es por tanto, una falacia el intentar embarullar al lector hablándole de esperanza cuando no tiene sentido a la hora de justificar la elección inteligente. No obstante la esperanza será la que es.
Los diagramas que recuerdo yo son los de Venn, pero bueno ya sabe que yo soy de la zona catalanoparlante y lo que disfrutan estos individuos creando fonemas y ortografías dicotómicas para confundir a los nacionalistas centrales.
Yo entiendo que su explicación le sirva a Vd. porque de hecho intuyo que viene a decir lo mismo que decía yo, que no hay tal bucle y que el resultado es equiprobable, pero para tal viaje no hacían falta tales alforjas. No quiero decir que la mayoría de nuestros lectores no le entienda a Vd. mejor que a mi, pero en este caso prefiero quedarme con mi sobre y pensar que yo soy más cristalino, o sea.
Y no se moleste por lo de ser progre, que me refería a progresista que aún con ideas más tradicionales hay gente que puede ser también muy progresista. Es la falacia de las etiquetas.
Saludos.
Me divierto con la forma de hablar de los participantes, parecen los malhechores de Sin City con delirios de grandilocuencia jejejee
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