sábado, marzo 01, 2008
La paradoja de los dos sobres (2ª parte)
De casualidad el otro día encontré una explicación matemática a la paradoja de los dos sobres, de la que hablé en la entrada anterior. Voy a ver si intento explicarla respetando el concepto matemático pero sin entrar en detalles escabrosos. De esta forma probablemente lo entenderé yo mejor también.
Pensemos que las dos cantidades en cuestión son 'b' y '2b'. Digamos que P(x) es la probabilidad de escoger un número 'x' como nuestra 'b'. Intuitivamente está claro que la suma de todas las probabilidades de todos los números que existen es el 100%. En el fondo de la sala ya veo a alguien dispuesto a plantear que hay infinitos números, pero esto no contradice la afirmación anterior. Sin embargo, la observación clave es que esta probabilidad P(x) de que un número cualquiera sea nuestro 'b' no es constante, no es la misma para cualquier número. Si esto fuera así, obtendríamos que la suma de las probabilidades de todos los números es infinita, mucho mayor del 100%, lo que es una tontería, y lo que es más importante, refuta la hipótesis de que esta probabilidad sea la misma para cualquier número. Entonces nos encontramos con que en general P(x) y P(x/2) serán distintas, una será mayor que la otra, y aquí viene el otro concepto clave. Conforme x se vaya haciendo mayor y mayor, P(x) irá siendo cada vez más pequeña, porque de lo contrario iríamos a la contradicción anterior, acabaríamos más del 100% para la suma de todas las P(x). Es por esto que, en general, P(x) < P(x/2), y esta desigualdad es mayor conforme mayor sea 'x', y viceversa, tienden a ser iguales cuanto más pequeña sea x.
En conclusión, que el concepto intuitivo de que cuando x sea gordo más vale pájaro en mano que ciento volando está sólidamente apoyado por la teoría matemática, lo que no deja de ser un consuelo, ¿no les parece?
Pensemos que las dos cantidades en cuestión son 'b' y '2b'. Digamos que P(x) es la probabilidad de escoger un número 'x' como nuestra 'b'. Intuitivamente está claro que la suma de todas las probabilidades de todos los números que existen es el 100%. En el fondo de la sala ya veo a alguien dispuesto a plantear que hay infinitos números, pero esto no contradice la afirmación anterior. Sin embargo, la observación clave es que esta probabilidad P(x) de que un número cualquiera sea nuestro 'b' no es constante, no es la misma para cualquier número. Si esto fuera así, obtendríamos que la suma de las probabilidades de todos los números es infinita, mucho mayor del 100%, lo que es una tontería, y lo que es más importante, refuta la hipótesis de que esta probabilidad sea la misma para cualquier número. Entonces nos encontramos con que en general P(x) y P(x/2) serán distintas, una será mayor que la otra, y aquí viene el otro concepto clave. Conforme x se vaya haciendo mayor y mayor, P(x) irá siendo cada vez más pequeña, porque de lo contrario iríamos a la contradicción anterior, acabaríamos más del 100% para la suma de todas las P(x). Es por esto que, en general, P(x) < P(x/2), y esta desigualdad es mayor conforme mayor sea 'x', y viceversa, tienden a ser iguales cuanto más pequeña sea x.
En conclusión, que el concepto intuitivo de que cuando x sea gordo más vale pájaro en mano que ciento volando está sólidamente apoyado por la teoría matemática, lo que no deja de ser un consuelo, ¿no les parece?
